یک تابع منطقی معادله ای است که به شکل y = N (x)/D (x) در آنجا N و D چند جمله ای هستند. تلاش برای ترسیم یک نمودار دقیق با دست می تواند مرور جامعی از بسیاری از مهمترین مباحث ریاضی دبیرستان از جبر پایه تا حساب دیفرانسیل باشد. مثال زیر را در نظر بگیرید: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
مراحل
مرحله 1. رهگیری y را پیدا کنید
به سادگی x = 0 را تنظیم کنید. همه چیز به جز شرایط ثابت ناپدید می شوند و y = 5/2 باقی می ماند. بیان این به عنوان یک جفت مختصات ، (0 ، 5/2) یک نقطه روی نمودار است. آن نقطه را نمودار کنید
مرحله 2. مجانب افقی را بیابید
طولانی مخرج را به شمارنده تقسیم کنید تا رفتار y برای مقادیر مطلق بزرگ x مشخص شود. در این مثال ، تقسیم نشان می دهد که y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). برای مقادیر مثبت یا منفی بزرگ x ، 17/(8 x + 4) به صفر نزدیک می شود و نمودار به خط y = (1/2) x - (7/4) تقریب می زند. با استفاده از خط تیره یا کمی کشیده ، این خط را نمودار کنید.
- اگر درجه ی شمارنده کمتر از درجه مخرج باشد ، تقسیم لازم برای انجام وجود ندارد و مجانب y = 0 است.
- اگر deg (N) = deg (D) ، مجانب یک خط افقی در نسبت ضرایب پیشرو است.
- اگر deg (N) = deg (D) + 1 ، مجانبی خطی است که شیب آن نسبت ضرایب پیشرو است.
- اگر deg (N)> deg (D) + 1 ، سپس برای مقادیر بزرگ | x | ، y به سرعت به صورت بی نامی مثبت یا منفی به عنوان چند جمله ای درجه دوم ، مکعب یا درجه بالاتر می رود. در این مورد ، احتمالاً ارزش ندارد که ضریب تقسیم را به طور دقیق ترسیم کنیم.
مرحله 3. صفرها را پیدا کنید
یک تابع منطقی هنگامی که عدد آن صفر است دارای صفر است ، بنابراین N (x) = 0. را در مثال ، 2 x قرار دهید 2 - 6 x + 5 = 0. متمایز کننده این درجه دوم b است 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. از آنجا که ممیز منفی است ، N (x) ، و در نتیجه f (x) ، هیچ ریشه واقعی ندارد. نمودار هرگز از محور x عبور نمی کند. اگر صفر یافت شد ، آن نقاط را به نمودار اضافه کنید.
مرحله 4. مجانب عمودی را بیابید
یک مجانب عمودی زمانی رخ می دهد که مخرج صفر باشد. با تنظیم 4 x + 2 = 0 خط عمودی x = -1/2 به دست می آید. هر مجانب عمودی را با یک خط روشن یا خط کشی نمودار کنید. اگر مقداری از x باعث N (x) = 0 و D (x) = 0 شود ، ممکن است مجانبی عمودی در آنجا وجود داشته باشد یا نباشد. این مورد نادر است ، اما نکات مربوط به نحوه برخورد با آن را در صورت بروز مشاهده کنید.
مرحله 5. به باقی مانده تقسیم در مرحله 2 نگاه کنید
چه زمانی مثبت ، منفی یا صفر است؟ در مثال ، عدد باقی مانده 17 است که همیشه مثبت است. مخرج ، 4 * 2 ، در سمت راست مجانب عمودی مثبت و در سمت چپ منفی است. این بدان معناست که نمودار برای مقادیر مثبت بزرگ x و از زیر برای مقادیر منفی بزرگ x ، به مجانبی خطی از بالا نزدیک می شود. از آنجا که 17/(8 x + 4) هرگز نمی تواند صفر باشد ، این نمودار هرگز خط y = (1/2) x - (7/4) را قطع نمی کند. در حال حاضر چیزی به نمودار اضافه نکنید ، اما این نتیجه گیری را برای بعد یادداشت کنید.
مرحله 6. Extrema محلی را پیدا کنید
هرگاه N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. ممکن است یک افراط محلی ایجاد شود. در مثال ، N '(x) = 4 x - 6 و D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. گسترش ، ترکیب اصطلاحات و تقسیم بر 4 برگ x 2 + x - 4 = 0. فرمول درجه دوم ریشه های نزدیک x = 3/2 و x = -5/2 را نشان می دهد. (این مقادیر حدود 0.06 با مقادیر دقیق متفاوت است ، اما نمودار ما آنقدر دقیق نیست که نگران آن سطح جزئیات نباشید. انتخاب تقریب منطقی مناسب ، مرحله بعدی را آسان تر می کند.)
مرحله 7 -مقادیر y را در هر اکستروموم محلی پیدا کنید
مقادیر x را از مرحله قبل به تابع منطقی اصلی وصل کنید تا مقادیر y مربوطه را بیابید. در مثال ، f (3/2) = 1/16 و f (-5/2) = -65/16. این نقاط (3/2 ، 1/16) و (-5/2 ، -65/16) را به نمودار اضافه کنید. از آنجا که ما در مرحله قبل تقریب زدیم ، این حداقلها و حداکثرها دقیق نیستند ، اما احتمالاً نزدیک هستند. (ما می دانیم (3/2 ، 1/16) به حداقل محلی بسیار نزدیک است. از مرحله 3 ، می دانیم که y همیشه مثبت است وقتی x> -1/2 باشد و مقداری به اندازه 16/1 پیدا کردیم ، بنابراین حداقل در این مورد ، خطا احتمالاً کمتر از ضخامت خط است.)
مرحله 8. نقطه ها را به هم وصل کرده و نمودار را از نقاط شناخته شده تا مجانبی به آرامی گسترش دهید و مراقب باشید از جهت صحیح به آنها نزدیک شوید
مراقب باشید که از محور x عبور نکنید مگر در نقاطی که قبلاً در مرحله 3 یافت شده است. بدون علامت افقی یا خطی به جز در نقاطی که قبلاً در مرحله 5 یافت شده است ، عمل نکنید. افراطی که در مرحله قبل یافت شد
ویدئو - با استفاده از این سرویس ، ممکن است برخی از اطلاعات با YouTube به اشتراک گذاشته شود
نکات
- برخی از این مراحل ممکن است شامل حل چند جمله ای درجه بالا باشد. اگر نمی توانید راه حل های دقیق را از طریق فاکتورگیری ، فرمول ها یا سایر وسایل پیدا کنید ، سپس راه حل ها را با استفاده از تکنیک های عددی مانند روش نیوتن برآورد کنید.
- اگر مراحل را به ترتیب دنبال می کنید ، معمولاً استفاده از آزمونهای مشتق دوم یا روشهای پیچیده مشابه برای تعیین اینکه مقادیر مهم حداکثرهای محلی ، حداقلهای محلی یا هیچکدام نیستند ، ضروری نیست. سعی کنید ابتدا از اطلاعات مراحل قبل و کمی منطق استفاده کنید.
- اگر می خواهید این کار را فقط با روشهای پیش از حساب انجام دهید ، می توانید مراحل مربوط به یافتن اکسترم محلی را با محاسبه چندین جفت مرتب شده (x ، y) بین هر جفت مجانبی جایگزین کنید. از طرف دیگر ، اگر برای شما مهم نیست که چرا کار می کند ، هیچ دلیلی وجود ندارد که یک دانش آموز پیش از محاسبات نتواند مشتق چند جمله ای را بگیرد و N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0
-
در موارد نادر ، شمارنده و مخرج ممکن است یک عامل غیر ثابت داشته باشند. اگر مراحل را دنبال می کنید ، این امر به صورت یک علامت صفر و عمودی در همان مکان نشان داده می شود. این غیرممکن است و آنچه در واقع اتفاق می افتد یکی از موارد زیر است:
- صفر در N (x) دارای تعدد بالاتری از صفر در D (x) است. نمودار f (x) در این مرحله به صفر نزدیک می شود ، اما در آنجا تعریف نشده است. این را با یک دایره باز در اطراف نقطه نشان دهید.
- صفر در N (x) و صفر در D (x) دارای تعدد برابر هستند. نمودار برای این مقدار x به نقطه غیر صفر نزدیک می شود ، اما در آنجا تعریف نشده است. دوباره این را با یک دایره باز نشان دهید.
- صفر در N (x) دارای تعدد کمتری نسبت به صفر در D (x) است. در اینجا یک مجانمع عمودی وجود دارد.
