واشر آپولونی نوعی تصویر فرکتال است که از مجموعه ای از دایره های همیشه کوچک در یک دایره بزرگ تشکیل شده است. هر دایره ای در واشر آپولونی مماس با دایره های مجاور است - به عبارت دیگر ، دایره های واشر آپولونی در نقاط بی نهایت کوچک تماس می گیرند. این نوع فراکتال که به نام ریاضی دان یونانی آپولونیوس از پرگا نامگذاری شده است ، می تواند (با دست یا با رایانه) به میزان قابل توجهی از پیچیدگی کشیده شود و تصویری زیبا و چشمگیر را تشکیل دهد. برای شروع به مرحله 1 زیر مراجعه کنید.
مراحل
قسمت 1 از 2: درک مفاهیم کلیدی
اگر بخواهیم کاملاً واضح باشیم ، اگر به سادگی به طراحی واشر آپولونی علاقه دارید ، تحقیق در مورد اصول ریاضی پشت فراکتال ضروری نیست. با این حال ، اگر می خواهید درک عمیق تری از واشرهای آپولونی داشته باشید ، مهم است که تعاریف چندین مفهوم را که هنگام بحث در مورد آنها استفاده می کنیم ، درک کنید.
مرحله 1. اصطلاحات کلیدی را تعریف کنید
اصطلاحات زیر در دستورالعمل زیر استفاده می شود:
- واشر آپولونی: یکی از چندین نام یک نوع فراکتال است که از مجموعه ای از دایره ها تشکیل شده است که درون یک دایره بزرگ قرار گرفته اند و مماس با سایر حلقه های مجاور هستند. اینها همچنین "دایره های بد" یا "دایره های بوسیدن" نامیده می شوند.
- شعاع دایره: فاصله نقطه مرکزی دایره تا لبه آن. معمولاً متغیر r را به آن اختصاص می دهند.
- خمیدگی یک دایره: عکس مثبت یا منفی شعاع ، یا ± 1/r. خمیدگی هنگام برخورد با انحنای بیرونی دایره مثبت و برای انحنای داخلی منفی است.
- مماس: اصطلاحی است که به خطوط ، صفحات و اشکال اطلاق می شود که در یک نقطه بی نهایت کوچک قطع می شوند. در واشرهای آپولونی ، این به این واقعیت اشاره دارد که هر دایره هر دایره نزدیک را فقط در یک نقطه لمس می کند. توجه داشته باشید که هیچ تقاطعی وجود ندارد - اشکال مماس روی هم قرار نمی گیرند.
مرحله 2. قضیه دکارت را درک کنید
قضیه دکارت فرمولی است که برای محاسبه اندازه دایره های واشر آپولونی مفید است. اگر انحنای (1/r) هر سه دایره را به ترتیب a ، b و c تعریف کنیم ، قضیه بیان می کند که انحنای دایره (یا دایره ها) مماس بر هر سه مورد ، که d را تعریف می کنیم ،: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
برای اهداف خود ، ما عموماً فقط از پاسخی که با قرار دادن علامت بعلاوه در مقابل ریشه مربع (به عبارت دیگر ،… + 2 (sqrt (…)) استفاده می کنیم ، استفاده می کنیم. در حال حاضر ، فقط کافی است بدانید که تفریق فرم معادله در سایر وظایف مرتبط کاربرد دارد
قسمت 2 از 2: ساخت واشر آپولونی
واشرهای آپولونی شکل آرایش های فراکتالی زیبایی از دایره های کوچک را به خود می گیرد. از نظر ریاضی ، واشرهای آپولونی دارای پیچیدگی بی پایان هستند ، اما ، چه از برنامه ترسیم رایانه ای و چه از ابزارهای سنتی طراحی استفاده کنید ، در نهایت به نقطه ای خواهید رسید که ترسیم دایره های کوچکتر از آن غیرممکن است. توجه داشته باشید که هرچه دایره های خود را دقیق تر بکشید ، بیشتر می توانید در واشر خود جا دهید.
مرحله 1. ابزارهای طراحی دیجیتال یا آنالوگ خود را جمع آوری کنید
در مراحل زیر ، ما واشر آپولونی ساده خود را می سازیم. این امکان وجود دارد که واشرهای آپولونی را با دست یا روی کامپیوتر بکشید. در هر صورت ، شما می خواهید بتوانید دایره های کاملاً گرد بکشید. این نسبتاً مهم است. از آنجایی که هر دایره ای در واشر آپولونی کاملاً مماس با حلقه های کنار آن است ، حلقه هایی که حتی کمی به هم ریخته شده اند می توانند محصول نهایی شما را "پرت کنند".
- در صورت کشیدن واشر روی رایانه ، به برنامه ای احتیاج دارید که به شما اجازه می دهد به راحتی دایره های شعاع ثابت را از یک نقطه مرکزی بکشید. Gfig ، یک برنامه افزودنی طراحی بردار برای برنامه ویرایش رایگان تصویر GIMP ، و همچنین انواع دیگر برنامه های طراحی می تواند مورد استفاده قرار گیرد (برای پیوندهای مربوطه به بخش مواد مراجعه کنید). شما همچنین احتمالاً به یک برنامه ماشین حساب و یا یک سند پردازشگر کلمه یا یک دفترچه یادداشت فیزیکی برای یادداشت برداری در مورد انحنا و شعاع احتیاج خواهید داشت.
- برای کشیدن واشر با دست ، به یک ماشین حساب (پیشنهاد علمی یا نمودار) ، یک مداد ، قطب نما ، خط کش (ترجیحاً ترازویی با علامت های میلیمتری ، کاغذ نمودار و یک دفترچه یادداشت برای یادداشت برداری نیاز دارید.
مرحله 2. با یک دایره بزرگ شروع کنید
اولین کار شما آسان است - فقط یک دایره بزرگ و کاملا گرد بکشید. هرچه دایره بزرگتر باشد ، واشر شما پیچیده تر است ، بنابراین سعی کنید یک دایره به اندازه کاغذ خود یا به اندازه ای که به راحتی در یک پنجره در برنامه طراحی خود می بینید ، ایجاد کنید.
مرحله 3. یک دایره کوچکتر در داخل اصلی ایجاد کنید ، مماس با یک طرف
سپس ، دایره دیگری را در داخل حلقه اول بکشید که کوچکتر از نسخه اصلی است ، اما هنوز هم نسبتاً بزرگ است. اندازه دقیق دایره دوم به شما بستگی دارد - اندازه درستی وجود ندارد. با این حال ، برای اهداف خود ، بیایید دایره دوم خود را بکشید تا دقیقاً به نصف دایره بیرونی بزرگ ما برسد. به عبارت دیگر ، بیایید دایره دوم خود را طوری ترسیم کنیم که نقطه مرکزی آن وسط شعاع دایره بزرگ باشد.
به یاد داشته باشید که در واشرهای آپولونی ، همه حلقه هایی که لمس می کنند مماس یکدیگر هستند. اگر از قطب نما برای کشیدن حلقه های خود با دست استفاده می کنید ، این اثر را با قرار دادن نقطه تیز قطب نما در وسط شعاع دایره بیرونی بزرگ ، و تنظیم مداد خود به گونه ای که فقط لبه دایره بزرگ را لمس کند ، دوباره ایجاد کنید. سپس دایره داخلی کوچکتر خود را ترسیم کنید
مرحله 4. یک دایره یکسان "روبروی" دایره کوچکتر داخل بکشید
بعد ، بیایید یک دایره دیگر را در مقابل حلقه اول خود ترسیم کنیم. این دایره باید هم با دایره بیرونی بزرگ و هم با دایره کوچکتر داخلی مماس باشد ، بدین معنی که دو دایره داخلی شما در نقطه میانی دقیق دایره بیرونی بزرگ لمس می شود.
مرحله 5. قضیه دکارت را بکار بگیرید تا اندازه حلقه های بعدی خود را بیابید
بیایید یک لحظه نقاشی را متوقف کنیم. اکنون که ما سه حلقه در واشر خود داریم ، می توانیم از قضیه دکارت برای پیدا کردن شعاع دایره بعدی که ترسیم می کنیم ، استفاده کنیم. به یاد داشته باشید که قضیه دکارت چنین است d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)) ، جایی که a ، b و c انحنای سه دایره مماس شما هستند و d انحنای دایره مماس بر هر سه است. بنابراین ، برای یافتن شعاع دایره بعدی خود ، بیایید انحنای هر یک از دایره هایی را که تا کنون داریم پیدا کنیم تا بتوانیم انحنای دایره بعدی را پیدا کنیم ، سپس این را به شعاع آن تبدیل کنیم.
-
اجازه دهید شعاع دایره بیرونی خود را به صورت زیر تعریف کنیم
مرحله 1 به از آنجا که سایر حلقه ها در داخل این حلقه قرار دارند ، ما با انحنای داخلی آن (و نه خمیدگی بیرونی آن) سروکار داریم و در نتیجه می دانیم که انحنای آن منفی است. -1/r = -1/1 = -1. انحنای دایره بزرگ است - 1.
-
شعاع دایره های کوچکتر نصف اندازه دایره بزرگ یا به عبارت دیگر 1/2 است. از آنجا که این دایره ها با لبه بیرونی خود یکدیگر و دایره بزرگ را لمس می کنند ، ما با انحنای بیرونی آنها سروکار داریم ، بنابراین انحنای آنها مثبت است. 1/(1/2) = 2. انحنای دایره های کوچکتر هر دو است
گام 2..
-
اکنون ، ما می دانیم که a = -1 ، b = 2 و c = 2 برای معادله قضیه دکارت ما. بیایید برای d حل کنیم:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 2 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 2 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. انحنای دایره بعدی ما برابر است
مرحله 3 به از آنجا که 3 = 1/r ، شعاع دایره بعدی ما است 1/3.
مرحله 6. مجموعه حلقه های بعدی خود را ایجاد کنید
برای رسم دو دایره بعدی از مقدار شعاع استفاده شده استفاده کنید. به یاد داشته باشید که اینها بر حلقه هایی مماس خواهند بود که از انحنای آنها در قضیه دکارت برای a ، b و c استفاده کرده اید. به عبارت دیگر ، آنها هم در حلقه های اصلی و هم در دو طرف مماس خواهند بود. برای اینکه این دایره ها با هر سه دایره مماس باشند ، باید آنها را در فضاهای باز در بالا و پایین ناحیه داخل دایره اصلی اصلی خود بکشید.
به یاد داشته باشید که شعاع این حلقه ها برابر 1/3 خواهد بود. 1/3 را از لبه دایره بیرونی اندازه بگیرید ، سپس دایره جدید خود را بکشید. باید با هر سه حلقه اطراف مماس باشد
مرحله 7. برای ادامه افزودن حلقه ها به این روش ادامه دهید
از آنجا که آنها فراکتال هستند ، واشرهای آپولونی بی نهایت پیچیده هستند. این بدان معناست که می توانید حلقه های کوچکتر و کوچکتر را به محتوای قلب خود اضافه کنید. شما فقط می توانید دقت ابزارهای خود را محدود کنید (یا اگر از رایانه استفاده می کنید ، توانایی برنامه بزرگنمایی خود برای "بزرگنمایی"). هر دایره ، هر چقدر هم کوچک باشد ، باید بر سه دایره دیگر مماس باشد. برای رسم هر دایره بعدی در واشر خود ، انحنای سه دایره ای را که مماس می شود ، به قضیه دکارت وصل کنید. سپس ، از پاسخ خود (که شعاع حلقه جدید شما خواهد بود) برای ترسیم دقیق حلقه جدید خود استفاده کنید.
- توجه داشته باشید که واشر مورد نظر ما برای قرعه کشی متقارن است ، بنابراین شعاع یک دایره برابر با دایره مربوطه "در مقابل آن" است. با این حال ، بدانید که هر واشر آپولونی متقارن نیست.
-
بیایید به یک مثال دیگر بپردازیم. بیایید بگوییم که پس از رسم آخرین مجموعه دایره های خود ، اکنون می خواهیم دایره هایی را که مماس بر مجموعه سوم ، مجموعه دوم و دایره بیرونی بزرگ ما هستند ، ترسیم کنیم. انحنای این دایره ها به ترتیب 3 ، 2 و -1 است. بیایید این اعداد را به قضیه دکارت وصل کنیم و a = -1 ، b = 2 و c = 3 را تنظیم کنیم:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 2 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2 ، 6. ما دو پاسخ داریم! با این حال ، از آنجا که می دانیم دایره جدید ما کوچکتر از حلقه هایی است که به آن مماس است ، فقط یک انحنا از
مرحله 6 (و بنابراین شعاعی از 1/6) منطقی است
- پاسخ دیگر ما ، 2 ، در واقع به دایره فرضی در طرف دیگر نقطه مماس حلقه های دوم و سوم ما اشاره دارد. این دایره است مماس هر دوی این دایره ها و دایره بزرگ بیرونی است ، اما حلقه هایی را که قبلاً ترسیم کرده ایم قطع می کند ، بنابراین می توانیم آن را نادیده بگیریم.
مرحله 8. برای چالش ، سعی کنید با تغییر اندازه حلقه دوم ، یک واشر آپولونی غیر متقارن بسازید
همه واشرهای آپولونی یکسان شروع می شوند - با یک دایره بیرونی بزرگ که به عنوان لبه فرکتال عمل می کند. با این حال ، هیچ دلیلی وجود ندارد که حلقه دوم شما لزوماً 1/2 شعاع حلقه اول را داشته باشد - ما فقط این کار را در بالا انجام دادیم زیرا درک آن ساده و آسان است. برای سرگرمی ، یک واشر جدید را با حلقه دوم با اندازه متفاوت شروع کنید - این امر به راههای جدید و هیجان انگیز اکتشاف منجر می شود.
